Тригонометрические примеры. Подробная теория. В дополнение к рассмотренным в предыдущих двух статьях тригонометрическим уравнениям, рассмотрим еще один класс уравнений, которые требуют еще более внимательного анализа. Данные тригонометрические примеры содержат либо иррациональность, либо знаменатель, что делает их анализ более сложным. Тем не менее ты вполне можешь столкнуться с данными уравнениями в части С экзаменационной работы. Однако нет худа без добра: для таких уравнений уже, как правило, не ставится вопрос о том, какие из его корней принадлежат заданному промежутку. Давай не будем ходить вокруг да около, а сразу тригонометрические примеры. Пример 1. Решить уравнение и найти те корни, которые принадлежат отрезку . Решение: У нас появляется знаменатель, который не должен быть равен нулю! Тогда решить данное уравнение – это все равно, что решить систему. Решим каждое из уравнений: или или А теперь второе: или , Теперь давай посмотрим на серию: Ясно, что нам не подходит вариант , так как при этом у нас обнуляется знаменатель (см. Тогда корни уравнения следующие: , . Теперь производим отбор корней, принадлежащих промежутку . Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку. Ошибка в задаче Ошибка в теории Прочие ошибки. Определите радианную меру угла, если его градусная мера равна: 1) 2. Найдём значения тригонометрических функций некоторых наиболее часто встречающихся. Еще сложнее может обстоять дело, если тебе попадутся тригонометрические примеры имеющие иррациональность. Пример 2. Решите уравнение: Решение: Ну хотя бы не надо отбирать корни и то хорошо! Давай вначале решим уравнение, не взирая на иррациональность: И что, это все? Нет, увы, так было бы слишком просто! Надо помнить, что под корнем могут стоять только неотрицательные числа. Тогда: Решение этого неравенства: Теперь осталось выяснить, не попала ли ненароком часть корней первого уравнения туда, где не выполяется неравенство . Для этого можно опять воспользоваться таблицей: Таким образом, у меня «выпал» один из корней! Тригонометрические уравнения. Урок и презентация на тему: 'Решение простейших тригонометрических уравнений'. Задание В11 - основные формулы тригонометрии (обучающий режим). Примеры решения тригонометрических уравнений. Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от Ответ. Теперь потренируйся самостоятельно на следующих примерах: А вот и решения. Замечательные пределы - подробные и понятные образцы решений. В теории математического анализа доказано, что. Методы решения тригонометрических уравнений. Уравнения, приводящиеся к однородным. Тригонометрия - Математика - Теория, тесты, формулы и задачи Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца. Учебное пособие ( теория). Задачи на разные Методы решения тригонометрических уравнений. Этот метод рассмотрим на примерах. И опять тригонометрические примеры с «трудной иррациональностью». Мало того, что у нас снова под Сообщить об ошибке. Ошибка в задаче Ошибка в теории Прочие ошибки. Он получается, если положить . Тогда ответ можно записать в следующем виде: Ответ: Видишь, корень требует еще более пристального внимания! Усложняем: пусть теперь у меня под корнем стоит тригонометрическая функция. Пример 3. Как и раньше: вначале решим каждое отдельно, а потом подумаем, что же мы наделали. Теперь второе уравнение: Теперь самое сложное – выяснить, не получаются ли отрицательные значения под арифметическим корнем, если мы подставим туда корни из первого уравнения: Число надо понимать как радианы. Так как радиана – это примерно градусов, то радианы – порядка градусов. Это угол второй четверти. Косинус второй четверти имеет какой знак? Так что можно сказать про выражение: Оно меньше нуля! А значит – не является корнем уравнения. Теперь черед . Сравним это число с нулем. Котангенс – функция убывающая в 1 четверти (чем меньше аргумент, тем больше котангенс). В то же время так как , то , а значит и ,Ответ: . Может ли быть еще сложнее? Будет труднее, если под корнем по- прежнему тригонометрическая функция, а вторая часть уравнения – снова тригонометрическая функция. Чем больше тригонометрических примеров, тем лучше, смотри дальше: Пример 4. Тогда нас будут интересовать те решения первого уравнения, которые лежат в третьей или четвертой четверти. Вторая же серия – ей диаметрально противоположная – и порождает корни, лежащие на границе первой и второй четверти. Поэтому эта серия нам не подходит. Ответ: , И опять тригонометрические примеры с «трудной иррациональностью». Мало того, что у нас снова под корнем тригонометрическая функция, так теперь она еще и в знаменателе! Пример 5. Ну, ничего не поделаешь – поступаем как и раньше. И снова сакральный вопрос: каков знак синуса в четвертой четверти? Тогда неравенствоневерно! Если же - нечетное , то: В какой четверти лежит угол ? Это угол второй четверти. Тогда все углы – снова углы второй четверти. Синус там положительный. Значит, серия: – подходит! Точно так же разбираемся со второй серией корней: . Подставляем в наше неравенство: Если – четное , то – углы первой четверти. Синус там положительный, значит серия подходит. Теперь если – нечетное , то: тоже подходит! Ну вот, теперь записываем ответ! Ответ: Ну вот, это был, пожалуй, наиболее трудоемкий случай. Теперь я предлагаю тебе задачи для самостоятельного решения. Решите и найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку . Решения: Первое уравнение: или ОДЗ корня: Второе уравнение: Отбор корней, которые принадлежат промежутку Ответ: или или Но Рассмотрим: . Если – четное, то – не подходит! Если – нечетное, : – подходит! Значит, наше уравнение имеет такие серии корней: или Отбор корней на промежутке . Ответ: , , . Тут же отбрасываем эту серию корней! Не подходит! Если знак : – угол четвертой четверти. Там тангенс отрицательный. Записываем ответ: Ответ: , . Мы вместе разобрали в этой статье сложные тригонометрические примеры, но тебе стоит прорешать уравнения самому. Замечательные пределы. Примеры решений. Продолжаем наш разговор на тему Пределы и способы их решения. Перед изучением материалов данной страницы настоятельно рекомендую ознакомиться со статьей Пределы. Из вышеуказанной статьи Вы сможете узнать, что же такое предел, и с чем его едят – это ОЧЕНЬ важно. Можно не понимать, что такое определители и успешно их решать, можно совершенно не понимать, что такое производная и находить их на «пятёрку». Но вот если Вы не понимаете, что такое предел, то с решением практических заданий придется туго. Вся информация изложена в простой и доступной форме. Их можно найти на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы. Лучше всего методички распечатать – это значительно удобнее, к тому же к ним часто придется обращаться в оффлайне. Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходится мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически. Замечательных пределов существует несколько, но на практике у студентов- заочников в 9. Первый замечательный предел, Второй замечательный предел. Следует отметить, что это исторически сложившиеся названия, и, когда, например, говорят о «первом замечательном пределе», то подразумевают под этим вполне определенную вещь, а не какой- то случайный, взятый с потолка предел. Начнем. Первый замечательный предел. Рассмотрим следующий предел: (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала). Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. Примеры решений) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что: Данный математический факт носит название Первого замечательного предела. Аналитическое доказательство предела приводить не буду, а вот его геометрический смысл рассмотрим на уроке о бесконечно малых функциях. Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по- другому, это ничего не меняет: – тот же самый первый замечательный предел.! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя. На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю. Примеры: , , , Здесь , , , , и всё гуд – первый замечательный предел применим. А вот следующая запись – ересь: Почему? Потому что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке. Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел ? Ответ можно найти в конце урока. На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел и получить лёгкий зачет. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе . В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ». А делается это очень просто: То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания. Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом: Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении: Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби: Кто позабыл упрощение многоэтажных дробей, пожалуйста, освежите материал в справочнике. Горячие формулы школьного курса математики. Готово. Окончательный ответ: Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так: “Используем первый замечательный предел “Пример 2. Найти предел Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль: Действительно, у нас неопределенность и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. Примеры решений мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Под синусами у нас , значит, в числителе тоже нужно получить : Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице: Собственно, ответ готов: В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно. Пример 3. Найти предел Подставляем ноль в выражение под знаком предела: Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле (кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. В данном случае: Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице): Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении. Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел: Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Пределы с применением этой формулы почему- то встречаются очень часто. Постоянные множители вынесем за значок предела: Организуем первый замечательный предел: Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении: Избавимся от трехэтажности: Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю: Пример 5. Найти предел Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно: Некоторые пределы можно свести к 1- му замечательному пределу путём замены переменной, об этом можно прочитать чуть позже в статье Методы решения пределов. Второй замечательный предел. В теории математического анализа доказано, что: Данный факт носит название второго замечательного предела. Справка: – это иррациональное число. В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности. Пример 6. Найти предел Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел. Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение , по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений. Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида : Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень : Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем: Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву : При этом сам значок предела перемещаем в показатель: Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен. Пример 7. Найти предел Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример. Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела: В результате получена неопределенность . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас , значит, в числителе тоже нужно организовать : Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель: Вроде бы основание стало напоминать , но у нас знак «минус» да и тройка какая- то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной: Таким образом, основание приняло вид , и, более того, появилась нужная нам неопределенность . Организуем второй замечательный предел . Легко заметить, что в данном примере . Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь : Наконец- то долгожданное устроено, с чистой совестью превращаем его в букву : Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность вида , раскрывать такую неопределенность мы научились на уроке Пределы. Делим числитель и знаменатель на : Готово. А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так: Пример 8. Найти предел Сначала (мысленно или на черновике) пробуем подставить ноль (бесконечно малое число) в выражение, стоящее под знаком предела: В результате получена знакомая неопределенность . Очевидно, что в данном примере . С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию : Выражение со спокойной душой превращаем в букву : Еще не всё, в показателе у нас появилась неопределенность вида . Раскладываем тангенс на синус и косинус (ничего не напоминает?): Косинус нуля стремится к единице (не забываем помечать карандашом), поэтому он просто пропадает в произведении: А что такое и к чему оно стремится, нужно уже знать, иначе «двойка»! Как видите, в практических заданиях на вычисление пределов нередко требуется применять сразу несколько правил и приемов.
0 Comments
Leave a Reply. |
AuthorWrite something about yourself. No need to be fancy, just an overview. Archives
January 2017
Categories |